זאבי גדל והתחנך בשכונת קריית הרצוג בבני ברק. בילדותו למד בבית ספר "עוזיאל" ובנעוריו בתיכון "רמז" שבבני ברק. כיום הוא מתגורר בתל אביב. מילדותו הוא השתייך למועדון הג'ודו הפועל בני ברק משכונת פרדס כץ, תחת הדרכתו של רמז ממיסטבלוב.
אחיו רוני זאבי היה הג'ודוקא הראשון מהמועדון שזכה באליפות הארץ בג'ודו. אריק החל להתאמן בג'ודו בעקבותיו וזכה כבר בגיל 15 באליפות הארץ לבוגרים, בכך הפך להיות צעיר הזוכים בארץ בתואר זה. למרות העובדה שגדל בשכונה מתפתחת ללא מתקנים מקצועיים לאימונים, הוא הצליח להתאמן במקלט השכונתי, להתמיד ,ולהגיע לרמות הגבוהות ביותר.
אריק התחרה בקטגוריית המשקל 100- ק"ג (עד 100 ק"ג) , ב 2001 זכה אריק בתואר "אלוף אירופה" בפעם הראשונה, באותה שנה לאחר שהפסיד בקרב הראשון שלו באליפות העולם, הוא החליט באופן חסר תקדים, להירשם שוב לתחרות ולהתחרות במשקל הפתוח מול יריבים הכבדים ממנו בעשרות קילוגרמים.
אריק נעצר רק בגמר והפך לסגן אלוף עולם בקטגוריית המשקל הפתוח, הישג מדהים.
אריק זכה במדליית ארד באולימפיאדת אתונה ב 2004, והוכתר אלוף אירופה 3 פעמים נוספות , ב 2003, 2004 ו ב 2012 תוך כדי שהוא זוכה באליפות אירופה הרביעית שלו בגיל 35.5, הג'ודוקא המבוגר ביותר שעשה זאת.
ב-2011 ראה אור ספרו "לנצח בקרבות היום יום" בהוצאת מדיה 10.
זאבי הוא בעל תואר במשפטים מהמרכז הבינתחומי בהרצליה, נשוי לרוית ואב לשלושה ילדים. הוא הנחה את תוכנית הספורט של הטלוויזיה החינוכית "ספורט TV". השתתף ב 2014 כמנטור בתוכנית "המיזם" ששודרה בפריים טיים ב"רשת" וכיום ,מאמן את נבחרת הקדטים וייסד עמותה על פי חזונו, שמטרתה לתמוך בספורטאים אולימפיים ובמאמנים שלהם.
